Methodenlehre der Statistik I - Klausur Sommersemester 2000 (15.07.2000)

Aufgabe 1 (13 Punkte):

  1. Eine Strecke von 12 km Länge zieht sich durch unterschiedliches Gelände. Eine Gruppe von Wanderern macht sich auf und bewältigt die ersten 3 km mit einer Geschwindigkeit von 5 km/h, die anschließenden 4 km mit einer Geschwindigkeit von 4 km/h und die letzten 5 km mit einer Geschwindigkeit von 3km/h. Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Strecke?

  2. Die Preissteigerung eines bestimmten Produktes von 1979 bis 2000 (jeweils im Januar erhoben) betrug über die ersten 6 Jahre insgesamt 12,5%, über die anschließenden 13 Jahre insgesamt 55% und über die letzten Jahre nur noch insgesamt 2%.
    1. Welche Preissteigerung ergibt sich daraus für die gesamte Zeit?
    2. Welche durchschnittliche jährliche Preissteigerungsrate ergibt sich für diese Zeit?

  3. Aus einer Einkommenserhebung (monatl., brutto, Juli 1999) unter 200 berufstätigen Personen ergab sich folgende Tabelle:
    Einkommen in DM Anzahl der Personen      
    bis 2000
    über 2000 bis 4000
    über 4000 bis 6000
    über 6000 bis 10000     		24
    56
    60
    60     		     

    1. Berechnen Sie (jeweils approximativ):
      1. das arithmetische Mittel
      2. die Streuung
      3. die Standardabweichung für die Einkommensdaten
      4. den Anteil der Personen mit einem Einkommen von weniger als 2750 DM
      5. den Zentralwert der Einkommensverteilung

    2. Aus insgesamt vier Erhebungen nach dem Einkommen (monatl., brutto, Juli 1999) in vier  verschiedenen Regionen sind folgende Informationen über Umfänge, arithmetische Mittel Xi und Standardabweichungen si übermittelt:
      i ni Xi si
      1
      2
      3
      4       		100
      150
      200
      250       		4300
      5100
      4800
      4400       		2000
      2600
      2400
      2200

      1. Berechnen Sie für alle 700 erhobenen Daten das arithmetische Mittel, die Streuung sowie den Variationskoefizienten
      2. Welcher Anteil der Streuung entfällt auf die Aufteilung der Gesamterhebung auf die vier Regionen?

Aufgabe 2 (10 Punkte):

Für n=63 zufällig ausgewählte Besucher einer Bibliothek wurden die beiden Merkmale "Alter" (= xi; i=1,...,63) und die Anzahl der Besuche im letzten Monat" (=yi; i=1,...,63) erhoben. Aus den Daten wurden folgende Summen errechnet:
S xi= 2646; Sxi2 = 131544; Sxi * yi = 24229,8;  Syi = 504;  Syi2 = 4599
  1. Berechnen Sie für beide Merkmale das arithmetische Mittel, die Varianz und die Standardabweichung.
  2. Berechnen Sie die empirische Covarianz und den empirischen Korrelationskoeffizienten. Interpretieren Sie das Ergebnis.
  3. Berechnen Sie die empirischen Regressionskoeffizienten a und b der Regressionsgeraden zwischen den beiden betrachteten Merkmalen. Interpretieren Sie den Regressionskoeffizienten b.
  4. Berechnen und interpretieren Sie das Bestimmtheitsmaß B.

(eine weitere Teilaufgabe mit dem Rangkorrelationskoeffizienten wurde nicht gerechnet, weil eine solche Aufgabe auch nicht vorkommen wird)

Aufgabe 3 (8 Punkte):

Bei der Herstellung eines Produktes treten nur die beiden Fehler A und B auf, und zwar der Fehler A bzw. B mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6 bzw. 0,5. Diese beiden Fehler treten unabhängig voneinander auf.

  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein zufällig ausgewähltes Produkt
    1. beide Fehler hat,
    2. mindestens einen Fehler hat,
    3. höchstens einen Fehler hat,
    4. fehlerfrei ist?

  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein fehlerhaftes Produkt
    1. den Fehler B hat,
    2. nur den Fehler B hat?

  3. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der Fehler eines zufällig ausgewählten Produktes.
    1. Geben Sie die Häufigkeitsfunktion von X an.
    2. Berechnen Sie den Erwartungswert von X.
    3. Berechnen Sie die Streuung und die Standardabweichung von X.

Aufgabe 4 (9 Punkte):

  1. Bei einer Prüfung kann ein Kandidat - unabhängig von der Beantwortung der übrigen Fragen - mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7 eine Frage aus dem großen Bereich der möglichen Fragen richtig beantworten.
    1. Aus dem Bereich der möglichen Fragen werden 10 Fragen gestellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Kandidat
      1. genau 7 Fragen richtig beantwortet,
      2. alle Fragen richtig beantwortet
      3. mindestens 9 Fragen richtig beantwortet?

    2. Aus dem Bereich der möglichen Fragen werden solange Fragen gestellt, bis der Kandidat erstmals eine Frage nicht beantworten kann. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß
      1. der Kandidat gleich die erste Frage nicht beantworten kann,
      2. die achte Frage die erste ist, die der Kandidat nicht beantworten kann,
      3. spätestens die sechste die erste Frage ist, die der Kandidat nicht beantworten kann?

  2. Der Bereich der möglichen Fragen umfaßt nur 20 Fragen. Aus diesen wählt der Prüfer zufällig 12 Fragen aus. Von den 20 möglichen Fragen kann der Kandidat genau 14 Fragen beantworten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Kandidat
    1. alle 12 der 12 gestellten Fragen richtig beantwortet,
    2. genau 11 der 12 gestellten Fragen richtig beantwortet,
    3. mindestens 11 der 12 gestellten Fragen richtig beantwortet?

Lösungen

Aufgabe 1 (13 Punkte):

  1. Durchschnittsgeschwindigkeit: 3,6735 km/h  

  2.  
    1. 77,8625%
    2. 2,786%

      1. X=4860
      2. s2=5720400
      3. s=2391,7358
      4. F(2750)=0,225
      5. x0,5=4666,67

    2.  
      1. X=4650
        s2=sint2+sext2=5394285,714+59642,8571=5483928,571
        V=0,5036
      2. 1,6347%

Aufgabe 2 (10 Punkte):

  1. X=42
    Y=8
    sx2=324  ; sx=18
    sy2=9  ; sy=3
  2. sxy=48,6
    rxy=0,9
    Interpretation: enger gleichgerichteter empirischer Zusammenhang
  3. b=0,15
    a=1,7
    Interpretation: steigt das Alter um ein Jahr, nimmt die Besuchszahl um 0,15 zu
  4. B=0,81
    Interpretation: 81% der Besuchszahlen lassen sich durch das Alter erklären

Aufgabe 3 (8 Punkte):

  1.  
    1. P(A^B)=0,3
    2. P=1-P(A^B)=0,8
    3. P=1-P(A^B)=0,7
    4. P(0)=0,2

  2.  
    1. P(B/AvB)=0,625
    2. P(B-(A^B)/(AvB))=0,25

  3.  
    1. x      f(x)
      0      0,2
      1      0,5
      2      0,3
    2. E(X)=1,1
    3. Streuung:1,7 ; Var(X)=0,49

Aufgabe 4 (9 Punkte):

  1.  
    1.  
      1. f(7)=0,2668
      2. f(10)=0,0283
      3. F(x>=9)=0,1493

      1. f(0)=0,3
      2. f(7)=0,0247
      3. F(x<=5)=0,8824

  2.  
    1. f(12)=0,0007
    2. f(11)=00173
    3. F(x>=11)=0,0181